En esta tarea, simularemos el decaimiento de $N$ átomos radioactivos. El enfoque usual es en términos de una ecuación diferencial: al parecer esto es evidente para todos, excepto para mí...
Pensaremos más bien (como debe ser) en los átomos como sistemas que pueden estar o en el estado 1 ("radioactivo") o el estado 0 ("decaído"), y que obedecen un proceso estocástico que gobierna su decaimiento. [El análisis funcionará también, por supuesto, para cualquier otro sistema que se puede modelar así.]
[1] Tratemos un átomo como sigue. En cada paso, tiene una probabilidad $p$ de decaer del estado $1$ al estado 0.
(i) Escribe una función que calcule el tiempo hasta que decaiga.
(ii) Encuentra la distribución de tiempos de decaimiento. ¿Cómo es la cola de la distribución? ¿Qué tipo de distribución es?
[2] Simula $N$ tales átomos, cada uno de los cuales tiene una probabilidad $p$ de decaer en cada paso.
Dibuja el número de átomos que no han decaído todavía hasta el paso $n$, en función de $n$. ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Es sorprendente?
[3] (i) Si $N$ es muy grande, escribe una ecuación aproximada para cómo cambia el número promedio de átomos que no se hayan decaído al tiempo $1$, tiempo $2$, ..., tiempo $n$.
(ii) Resuelve la ecuación para encontrar la proporción no decaída al tiempo $n$.
[4] Ahora tomemos el límite continuo: pensemos que cada paso toma un tiempo $\delta t$, y tomemos el límite $\delta t \to 0$ (así que el proceso se volverá continuo).
Reescribe el resultado de la pregunta 3 en términos de $\delta t$, y toma el límite cuando $\delta t \to \infty$. [Pista: hay que reconocer que aparecerá cierta función interesante en este límite.]
[5] Da una interpretación de la tasa de decaimiento. ¿Puedes derivar la ecuación diferencial estándar de decaimiento radioactivo de este análisis?
Es posible simular directamente el proceso en tiempo continuo. Recuérdenme de que debamos ver esto después...